Funcția parte întreagă / ecuație cu parte întreagă

Să se rezolve ecuația:

Pentru a rezolva o ecuația cu parte întreagă, vom recapitula noțiunea de parte întreagă.

Orice număr este compus din două părți: o parte întreagă și o parte fracționară.

În general, când vorbim despre numere scrise în baza zece, avem pentru numere pozitive, de exemplu,      2,3 = 2 + 0,3 , iar pentru numere negative    -2,3 = -3 + 0,7.

La numere pozitive, partea întreagă este identică cu numărul întreg care este înainte de virgulă, iar la numere negative, partea întreagă este egală nu numărul întreg anterior numărului întreg care este înainte de virgulă.

Partea fracționară este întotdeauna pozitivă, indiferent de semnul numărului. La numere pozitive este identică cu partea fracționară a numărului dat, iar la numere negative partea fracționară este egală cu diferența 1 – partea fracționară a numărului dat.

În general, dacă notăm cu x un număr oarecare, acest număr îl vom scrie ca suma dintre cele două părți:  x = [x] + {x}        

Cu paranteze pătrate se notează partea întreagă și cu acolade se notează partea fracționară.

O proprietate importantă este următoarea:

Orice număr este mai mare sau egal cu numărul întreg anterior numărului dat și mai mic decât  numărul întreg care urmează după numărul dat. Astfel :

                           [x]  ≤   x  <   [x] +1.   (1)

Rezolvarea ecuației date.

Observăm că membrul stâng al ecuației este o parte întreagă.

Rezultă că și membrul drept x-2  al ecuației este tot un număr întreg:  x-2 Π Z

Deoarece 2 este număr întreg rezultă că   x Π Z.

În ecuația dată vom folosi relația (1) și obținem:

Ținem cont de ecuația dată și înlocuim partea întreagă cu x-2. Rezultă:

Din această dublă inecuație vom scrie un sistem de inecuații:

Eliminăm numitorii din cele două inecuații,

  

Soluție:    x = 3