Olimpiada de matematică, etapa pe sector 2015, Clasa a VII-a Subiectul 4.

Olimpiada de matematică, etapa pe sector 2015, Clasa a VII-a Subiectul 4.

Se consideră  pătratul  ABCD  și  punctele:  M aparține lui (BC);  O aparține lui (BD);  N aparține lui (CD ,  astfel  încât  O  este  mijlocul segmentului  MN. 

 Determinați  măsurile  unghiurilor  triunghiului  MAN.

Rezolvare:

Desenăm figura și observăm din figură că este posibil ca triunghiul MAN să fie un triunghi dreptunghic isoscel. Dacă acest lucru s-ar întâmpla, atunci triunghiurile ABM și AND ar fi congruente, ceea ce ar însemna că segmentele BM și ND ar fi congruente.

Hai să vedem dacă lucrurile stau așa. 

Vă propun să notăm segmentul BM cu x, latura pătratului cu  l și să construim pe figură perpendiculara din O pe CN, iar punctul de intersecție cu să îl notăm cu P.

Dacă BM = x atunci MC = l – x,

Deoarece OP⊥ NC (din construcție)   și BC ⊥ NC (din ipoteză: ABCD pătrat) rezultă că OP ‖ MC.

Deoarece OP ‖ MC și O este mijlocul lui MN, rezultă că OP este linie mijlocie în Δ NMC  deci OP = (l – x) / 2  și totodată P este mijlocul lui NC, adică 

NP = PC.

Dar triunghiul DOP este un triunghi dreptunghic isoscel  și DP = OP

Observăm că:

 NP  =  ND + DP = ND +(l – x) / 2     (1)

sau îl putem scire ca jumătatea lui NC : 

NP = NC / 2 = (ND + l) / 2               (2)

Egalând cele două expresii ale lui NP obținem:

ND +(l – x) / 2     =  (ND + l) / 2               (înmulțim cu 2 întreaga ecuație:

2 ND + l – x = ND + l  

ND =  x

Am arătat că segmentul ND are aceeași măsură cu segmentul BM, deci sunt egale.

Rezultă că triunghiurile ABM și AND sunt congruente ( au câte un unghi de 90 de grade, catetele BM =ND = x și AB = AD = l) conform cazului de congruență catetă – catetă. Din această congruență rezultă că

≮BAM ≡≮NAD       (3)                      și AM ≡ AN    (4)

Deoarece 

m (≮BAM) + m(≮ MAD) = 90^o     (5)

Din (3) și (5)  rezultă că m (≮NAD) + m(≮MAD) = 90^o  deci NA ⊥ AM    (6)

Din (4) și (6) rezultă că triunghiul MAN este dreptunghic  isoscel (un unghi de 90 grade și două de 45 grade).