luni, 19 ianuarie 2015

Problemă cu arii (triunghi și pătrat)

Geometrie clasa a VII-a



Fie ABCD un pătrat în care
 unde M este mijlocul lui AB, iar

Dacă    AABCD  = 432 cm2, aflaţi aria triunghiului MNO.

Rezolvare:
Construim figura:



Din datele problemei (din ipoteză) avem ABCD un pătrat. Proprietăţile pătratului sunt: toate laturile congruente între ele, toate unghiurile congruente între ele şi egale cu 90 grade, diagonalele congruente şi perpendiculare, diagonalele se intersectează în părţi egale:


În triunghiul dreptunghic isoscel ABD avem AO mediană (uneşte vârful triunghiului A cu mijlocul laturii opuse BD). Din datele problemei avem punctul M ca mijloc al laturii AB şi segmentul DM care uneşte punctele D şi M este tot o mediană în triunghiul ABD. Aceste două mediane DM şi AO se intersectează în punctul N.
Cunoaştem că medianele unui triunghi au proprietatea de a se intersecta într-un punct unic, care împarte fiecare mediană în raport de 1/3 faţă de bază şi 2/3 faţă de vârful triunghiului; rapoartele se  calculează din lungimea medianei respective. Reamintesc, punctul de intersecție a medianelor unui triunghi se numește centru de greutate.
Astfel putem scrie:

Pentru a calcula aria triunghiului MNO avem nevoie de înălţimea triunghiului. Pentru aceasta coborâm o perpendiculară din punctul M pe AO şi notăm punctul cu M’. MM’ este înălţimea triunghiului MNO. MM’ fiind perpendiculară pe AO şi BO, de asemenea perpendiculară pe AO, rezultă că MM’ este paralelă cu OB. Deoarece M este mijlocul lei AB rezultă că MM’este linie mijlocie în triunghiul AOB şi are măsura egală de jumătate din OB:  
MM  =  OB / 2;
Aria triunghiului MNO o vom scrie după formula: jumătate din produsul dintre înălțime și baza (latura triunghiului) pe care coboară acea înălțime.



În calculul prezentat mai sus am ținut cont de exprimarea ariei triunghiului AOB dreptunghic în vârful O ca produsul catetelor împărțit la 2. De asemenea, acest triunghi AOB este congruent, din toate proprietățile pătratului, cu celelalte triunghiuri: BOC, COD și DOA. Aceste triunghiuri vor avea și aceeași arie, iar suma ariilor lor duce la aria pătratului.
AAOB  = ABOC  = A COD = ADOA
AAOB  + ABOC  + A COD + ADOA  = AABCD  rezultă că 4 AAOB  = AABCD din care reiese  AAOB  = AABCD  / 4.

Soluția problemei:    AMNO = 18 cm2










































Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu