Numărul numerelor prime care divid expresia (Algebră clasa a VII-a)

Algebră clasa a VII-a 

Numărul numerelor prime care divid expresia:

71² – 37² - 51 este

            A)   0                B)  1             C)  2              D)  3                E) 4

Rezolvare:

71² – 37² – 51 = (71² – 37²) – 51 = (71 – 37) ( 71 + 37) – 51 =

= 34 · 108 – 51 = 2·17·2²·3³ - 3·17 = 3·17 (2³ · 3² -1) =

= 3· 17 (72 -1) = 3·17·71

Etapele parcurse sunt următoarele: grupăm primii doi termeni care sunt pătrate perfecte într-o paranteză. Aplicăm formula de calcul prescurtat pentru diferența de pătrate (produsul dintre suma și diferența celor două numere care sunt ridicate la pătrat) și vom descompune difernța de pătrate într-un produs de doi factori 34 și 108. Apoi descompunem în factori primi cele trei numere: 34 e produsul dintre 2 și 17, 108 este produsul dintre 2² și 3³, iar 51 este produsul dintre 3 și 17.

Observăm că 3 și 17 sunt factori comuni și putem să îi scoatem în fața unei paranteze în care va rămâne diferența dintre ceilalți factori necomuni. Am obținut descompunerea în factori primi a expresiei date.

Avem astfel 3 numere prime care divid expresia data.

Aceștia sunt divizorii proprii numere prime. Dar să nu uităm că și 1 este număr prim care este divide expresia data.

Soluția problemei:  sunt 4 numere prime care divid expresia:

1 , 3, 17 și 71.

Deci rezultatul este E)  4