sâmbătă, 24 ianuarie 2015

Exerciţiu cu mulțimi și radicali, clasa a 7-a, Lumina Math 2014

Concursul național Lumina Math 2014, clasa a 7-a

Mulțimea


este:
 

Rezolvare:
În acest exercițiu avem de determinat elementele mulțimii A. Ce ne spune expresia dată de problemă. Între acolade sunt elementele mulțimii A. Observăm că A este o mulțime de elemente x care aparțin mulțimii numerelor reale. Bara verticală o citim "cu proprietatea că". Înțelegem că toate elementele x au aceeași proprietate. Această proprietate este dubla inegalitate în care fracția care conține elementele x. Ce avem de făcut este să rezolvăm dubla inegalitate.
 Mai întâi luăm fracția și o aducem la o formă mai simplă.
Observăm că expresia conține radicali  la numitor . O expresie care are radicali la numitor se aduce la o formă mai simplă prin RAȚIONALIZAREA  NUMITORULUI. Raționalizarea înseamnă că transformăm numitorul într-un număr rațional (reamintesc că radicalul care nu se extrage exact este întotdeauna un număr irațional, iar numerele iraționale au o infinitate de zecimale, fără nici o regulă de repetare.  Spre deosebire de numerele raționale care au un număr finit de zecimale sau cele periodice, numere care se pot scrie sub formă de fracție ordinară.
Raționalizarea a facem, dacă avem un singur radical, prin amplificarea fracției (înmulțire și la numărător și la numitor) cu radicalul însuși.
Dacă la numitor avem o adunare sau o scădere în care cel puțin unul dintre termeni este un radical aplicăm formula de calcul prescurtat  A2 – B2 = (A-B) (A + B)   a diferenței de pătrate a două numere care se descompune în produsul dintre suma și diferența numerelor. 
În cazul nostru amplificăm fracția cu suma numerelor pentru care care la numitor avem diferența lor,  apoi facem calculele după cum urmează: 




 Aceasta este forma simplă a fracției date.
Pentru a rezolva dubla inegalitate, luăm pe rând inegalitatea din stânga apoi pe cea din dreapta.
Calculăm
și obținem x mai mic sau egal decât 3.
La cea de-a doua inegalitate, din dreapta, facem calculele după cum urmează: 
 

și obținem x mai mare sau egal decât 2.
Luând împreună cele două rezultate, rezultă că x aparține intervalului închis 2, 3, ceea ce înseamnă soluția din varianta A a problemei.


Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu