Problema cu romb si coliniaritate

Geometrie clasa a 7-a

În exteriorul rombului ABCD cu măsura unghiului A de 60 grade se construiesc pătratul BCEF şi dreptunghiul ABNM  cu latura AM = 2 AB. Arătaţi că punctele N, F, E sunt coliniare şi că NB = 2 BD.

Rezolvare: Construim figura, așa cum se vede în imaginea alăturată.

Avem rombul ABCD, cu unghiul A de 60 grade și toate laturile egale cu a. Deoarece rombul este un caz particular al paralelogramului, are laturile opuse paralele. Desenăm și diagonala BD. În triunghiul ABD observăm că laturile AB și AD sunt congruente și egale cu a și unghiul de la vârf A de 60 grade. Rezultă că triunghiul ABD este echilateral : toate unghiurile lui sunt de 60 grade. La fel este și triunghiul CBD. Rezultă că și diagonala BD este egală cu a. Construim pătratul BCEF și precizăm pe figură faptul că toate laturile pătratului sunt egale cu a și unghiurile sunt drepte egale cu 90 grade. Construim și dreptunghiul ABNM cu latura AM egală cu 2AB sau 2a și toate unghiurile de 90 grade, AM = BN = 2a. Deoarece BD = a, rezultă că BN = 2BD. 

Pentru a demonstra colinitaritatea punctelor E, F și N, vă propun următoarea demonstrație:

Presupunem că atunci când construim dreapta care trece prin punctele E și F, prelungită până intersectează latura BN a dreptunghiului, acestă dreaptă intersectează dreapta BN într-un punct diferit de punctul N, pe care îl notăm cu N1. Acesată construcție se poate vedea în cea de-a doua figură. În această construcție punctele E, F și N1 sunt coliniare. Rezultă că unghiul EFN1 are 180 grade, iar unghiul BFN1 are 90 grade (suplementul lui este un unghi drept al pătratului. În triunghiul BFN1 avem unghiul FBN1 a cărui măsură o putem calcula astfel:
în jurul punctul B este un unghi de 360 grade.  Unghiul FBN1 are măsura egală cu 360 - 60 - 60 - 90 - 90 grade = 60 grade. În triunghiul BFN1 dreptunghic avem un unghi de 60 grade, deci celălalt unghi ascuțit este de 30 grade. Știm că într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de 30 de grade este jumătate din ipotenuză. Rezultă că BF = BN1 / 2 = a . Rezultă că mărimea ipotenuzei BN1 este egală cu 2a.

Dar, din datele problemei dreptunghiul ABNM are latura Bn egală cu 2a. Rezultă că BN = BN1 = 2a. Cu alte cuvinte punctele N și N1 sunt puncte confundate și presupunerea făcută la început (că dreapta EF intersectează BN în punctul N1 diferit de punctul N) a fost falsă. Rezultă că drepta  EF intersectează BN în punctul N și punctele  B, F și N sunt coliniare.