Problemă cu triunghiul isoscel

Fie triunghiul ABC, în care AB<AC. Fie punctele D şi E

 astfel încât  

  Perpendicularele din B şi D pe bisectoarea   unghiului BAC intersectează dreapta AC în F şi respectiv G.
a) demonstraţi că triunghiul ABF este isoscel;
b) demonstraţi că     

Demonstrație:

Pentru a construi figura ne folosim de următoarele notaţii

Observăm că triunghiurile AMB şi AMF sunt congruente deoarece:

 din această congruenţă (cazul de congruență catetă unghi)  rezultă că şi celelalte elemente ale celor două  triunghiuri sunt congruente:

Pentru punctul b) observăm că triunghiurile AND şi ANG sunt congruente (cazul catetă unghi) deoarece:

Pentru a exprima măsura segmentului FG umărim să calculăm cele două segmente care adunate formează segmentul FG= FC + CG. În acest scop ne folosim de notațiile următoare:

Observăm că relația AD =AG de mai sus pe AD îl scriem ca sumă de segmente AB și BD, iar CF ca diferență de segmente AC și AF. AE este egal cu suma dintre  AC = b și CE = x

Prin urmare, segmentul EG îl exprimăm ca diferență de segmente AE-AG și calculăm înlocuind expresiile pentru fiecare segment:

Rezultă că EG și CF sunt segmente egale (au aceeași măsură). Acum putem să calculăm valoarea segmentului GC ca diferență dintre AG și AC:

În final calculăm valoarea măsurii segmentului FG ca sumă a măsurilor segmentelor FC și CG:

 

Deoarece am obținut aceeași măsură pentru cele două segmente FG=x și CE =x rezultă că cele două segmente sunt congruente.