Problemă cu trapez

 Fie ABCD un trapez dreptunghic cu baza mare AB și măsurile unghiurilor A și D de 90 grade.

       Demonstrați inegalitățile:   

       a ) AB – CD > BC – AD;

       b)      AB + AC > DB + DC.

Demonstație:

a)  În trapezul ABCD construin perpendicular din C pe latura AB și notăm cu E piciorul perpendicularei situat pe AB.  Deoarece ABCD este trapez cu unghiurile A și D de 90 grade, acest trapez este dreptunghic și are baza mare AB paralelă cu baza mica CD. 

Deoarece am construit CE perpendiculară pe AB și din ipoteză avem unghiul A de 90 grade  rezultă că AD și CE sunt paralele.

 Patrulaterul ADCE are laturile opuse paralele și unghiurile de 90 grade, deci este un dreptunghi.

Rezultă că laturile opuse sunt congruente, AE = CD și AD = CE.

Demonstrăm prima relație

AB-CD  > BC – AD . Deoarece am arătat mai sus că CD = AE și AD = CE

avem AB – CD = AB – AE = BE și în partea dreaptă BC – AD = BC – CE

Acum inegalitatea devine:  BE > BC – CE

sau BC + CE > BC

Observăm că acum în inegalitate avem laturile triunghiului BEC.

 Relația este adevărată deoarece întotdeauna într-un triunghi suma a oricare două laturi este mai mare decât cea de a treia latură.

b) Pentru cea de-a doua inegalitate construim diagonalele trapezului AC și BD.

În inegalitatea AB + AC > DB + DC,  trecem DC  în partea stângă DC și  AC în partea dreaptă cu semne schimbate.

Inegalitatea devine: AB – CD > DB – AC

Am arătat mai sus că laturile opuse ale dreptunghiului sunt egale

CD = AE și totodată  avem și diagonalele dreptunghiului egale. Acestea sunt: AC = DE. Introducem în inegalitate  și avem:

AB – AE  > DB – DE . Deoarece AB – AE = BE inegalitatea devine:

BE  > DB – DE sau   BE + DE > DB

Observăm că inegalitatea este adevărată deoarece avem inegalitatea laturilor triunghiului BED,  în care întotdeauna suma a două laturi este mai mare decât cea de-a treia latură.