Tatăl și cei doi fii adulți ai săi merg în vizită la bunica. Ei au la dispoziție o motocicletă. Pe motocicletă pot circula maxim două persoane simultan. Viteza de deplasare a motocicletei este de 20 km/h cu două persoane și de 25 km/h cu o persoană. Viteza de deplasare pe jos a oricărei persoane este de 5 km/h.
Să se afle timpul minim în care pot ajunge cei trei bărbați la bunica, știind că distanța până la casa bunicii este de 30 km.
A) 29/11 h B) 12/11 h C) 17/11 h D) 31/11 h E) 30/11 h
Pentru a rezolva această problemă să ne gândim cum pot parcurge cei trei oameni drumul până la bunica pentru a ajunge cât mai repede.
Dacă presupunem că pleacă pe motocicletă doi dintre ei, fiind doi oameni pe motocicletă, viteza de mers este de 20 km /h. Rezultă că într-o oră și jumătate vor ajunge la bunica unde unul dintre ei coboară și celălalt se întoarce să îl ia și pe cel de-al treilea. Cu 25 km/h acest drum de întoarcere va fi parcurs într-un timp egal cu 30:25 = 1,2 h = 1 oră și 10 minute. Ajunge omul cu motocicleta la punctul de plecare și îl ia și pe cel de al treilea. Amândoi fac cu motocicleta 30 km cu viteza de 20 km/h încă o oră și jumătate până la bunica. În total de la început au trecut 1,5 + 1,2 + 1,5 = 4,2 ore. Observăm că în răspunsurile problemei nici unul dintre răspunsuri nu este atât de mare!!! Cel mai mare timp este de 31/11 ore, deci mai mic de trei ore. Înseamnă că există o cale prin care putem scurta timpul în care cei trei oameni să ajungă la bunica.
Să ne gândim cum.
În primul rând dacă la momentul în care cei doi pleacă cu motocicleta spre bunica, pleacă și cel de-al treilea pe jos? În acest fel, când se va întoarce motocicleta îl va lua și pe el de la o distanță mai apropiată de casa bunicii și timpul va fi mai scurt.
În al doilea rând, dacă cei doi care pleacă pe motocicletă, se opresc
undeva pe drum, înainte de casa bunicii, și unul dintre ei coboară și
merge în continuare pe jos, iar omul cu motocicleta se întoarce, timpul
se va scurta! El merge înapoi cu motocicleta până se întâlnește cu cel
de-al treilea, îl ia pe motocicletă, se întorc și merg spre casa bunicii
și ajung acolo în același timp cu primul care a mers și el pe jos o
bucată de drum.
În figura 1 este reprezentat drumul până la casa bunicii. Știm că sunt 30 km.
Motocicleta pleacă cu oamenii notați cu literele A și B, cu viteza de 20 km/h și parcurge drumul notat cu x1 în timpul t1.
Din relația cunoscută (de la fizică!) distanța = viteaza x timpul
Putem scrie: x1 = 20 t1 (1)
Aici se oprște și un om coboară (notat cu litera B) și pornește pe jos și merge până la casa bunicii distanța x2 în timpul t2 cu 5 km/h.
x2 = 5 t2 (2)
Notăm că aceste distanțe x1 și x2 formează întregul drum până la casa bunicii 30 km.
x2 +x1 = 30 km (3)
Înlocuim relațiile 1 și 2 în relația 3 și obținem:
20 t1 + 5 t2 = 30 (4)
Motocicleta se întoarce cu un singur om (notat cu litera A) , merge cu viteza de 25 km/h, parcurge distanța x3 în timpul t3.
x3 = 25 t3 (5)
Distanța x3 reprezintă locul în care motocicleta se întâlnește cu omul notat cu litera C. C a mers pe jos distanța x1 – x3 cu viteza de 5 km/h în timpul t1 + t3
x1 – x3 = 5 ( t1 + t3) (6)
După ce s-au întâlnit A cu C pornesc amândoi pe motocicletă spre casa bunicii și ajung acolo în același timp cu B.
Ei merg cu viteza de 20 km/h și parcurg drumul x3 + x2 în timpul t4
x3 + x2 = 20 t4 (7)
B a mers spre casa bunicii distanța x2 în timpul t2. În acest timp t2, motocicleta s-a întors și a mers timpul t3 până s-a întâlnit cu C și apoi amândoi cu motocicleta spre casa bunicii au mers timpul t4. Deoarece ei ajung odată cu B înseamnă că timpul
t2 = t3 + t4 (8).
Problema ne cere să aflăm timpul în care cei trei ajung la casa bunicii, asta înseamnă că trebuie să aflăm timpul t1 + t2 sau t1 + t3 + t4.
Înlocuim relațiile 1 și 2 în relația 3. Se obține.
20 t1 + 5 t2 = 30 Împărțim relația prin 5. Rezultă:
4 t1 + t2 = 6 (9)
Înlocuim relația 8 în relația 9. Rezultă: 4t1 + t3 + t4 = 6 (10)
Adunăm relațiile 6 și 7 și ținem cont de relația 3:
x1 + x2 = 5t1 + 5t3 + 20 t4 = 30 Rezultă: t1 + t3 + 4t4 = 6 (11).
Înlocuim relațiile 1 și 5 în relația 6. Rezultă:
20t1 – 25 t3 = 5(t1 + t3) Împărțim prin 5.
4t1 – 5t3 = t1 + t3 Rezultă 3t1 = 6 t3 sau t1 = 2 t3 (12)
Acum luăm cele trei ecuații 10, 11 și 12:
4t1 + t3 + t4 = 6 (10)
t1 + t3 + 4t4 = 6 (11).
t1 = 2 t3 (12)
Scădem relațiile 10 și 11. Rezultă. t1 = t4 (13)
Din 12 avem t3 = t1 / 2 și din 13 avem t4 = t1 . Aceste expresii pentru timpii t3 și t4 le înlocuim în relația 10. Rezultă:
4 t1 + t1 / 2 + t1 = 6 Înmulțim relația cu 2
8 t1 + t1 + 2 t1 = 12
11 t1 = 12 Rezultă t1 = 12 / 11
Înlocuim valoarea lui t1 în expresiile lui t3 și t4
t3 = t1 / 2 = (12 /11)(1/2)= 12 / 22 = 6 / 11
t4 = t1 = 12 / 11
Acum calculăm timpul cerut de problemă:
t1 + t3 + t4 = 12/11 + 6/11 + 12/11 = 30 / 11 Acesta este rezultatul problemei.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu