Demonstrați inegalitatea cu numere raționale

Se notează cu a numărul rațional

 

 și se consideră un număr natural k diferit de zero.
Demonstrați că:

a) 

 b)

 c)

Rezolvare:
a) Pentru a demonstra această egalitate observăm că numitorul comun al fracțiilor este k(k+1) și amplificăm fracțiile din partea stângă, prima cu (k+1) și a doua cu k. Făcând calculele se obține fracția din partea dreaptă.

 

Reținem de aici că fracția din dreapta, care este o fracție cu numărător 1 și numitor un produs de două numere consecutive, o putem descompune în diferența a două fracții cu numărători 1 și numitori cele două numere consecutive! Foarte important!

b) Pentru a demonstra inegalitatea efectuăm înmulțirile, trecem termenii din stânga în partea dreaptă cu semn schimbat și apoi efectuăm scăderile.

,       =>

 Rezultatul k+1 > 0 este adevărat pentru orice k număr natural (numerele naturale sunt pozitive și prin adunarea numerelor pozitive se obține tot un număr pozitiv.

 c) Pentru a demonstra inegalitatea cu modul ]ncepem prin a explicita acest modul:

 În cazul I, la prima formă a modulului

inegalitatea arată astfel:  0,99 -a < 1 =>  a  > 0,99 -1  =>  a > -0,01 acest rezultat este adevărat deoarece, în forma în care este dat de problemă numărul rațional a, el este o sumă de pătrate ale unor numere raționale. Deoarece întotdeauna un număr ridicat la pătrat este pozitiv și suma de pătrate are o valoare pozitivă. 

În cazul II, la cea de-a doua formă a modulului

 inegalitatea arată astfel: a - 0,99 < 1  =>  a < 1,99
Pentru a demonstra că valoarea numărului rațional a este întotdeauna mai mică de 1,99 ne folosim de expresiile demonstrate la punctele a și b ale problemei.  Astfel, relația de la punctul b) o transformăm astfel încât să obținem răsturnatul fiecărui număr din inegalitate. Împărțim toată inegalitatea pe rând întâi prin membrul drept și apoi prin membrul stâng și efectuăm simplificările :

 Apoi ne folosim și de relația de la punctul a) al problemei prin care o fracție cu numărător 1 și numitor un produs de două numere consecutive o putem descompune în diferența a două fracții cu numărători 1 și numitori cele două numere consecutive

 Ne folosim de acestă inegalitate și dăm valori numărului natural k de la 1 până la 99 și scriem toate inegalitățile una sub cealaltă. Obținem următoarele:

 Observăm că prin adunarea termenilor din partea stângă obținem expresia numărului rațional a mai puțin numărul 1, iar prin adunarea termenilor din partea dreaptă se reduc doi câte doi termenii cu semn opus și rămân doar 1 - 1/100 . Adunăm atât în stânga cât și în dreapta numărul 1 și se obține:

 

Rezultatul este ceea ce cerea problema să demonstrăm pentru al doilea caz al modulului : a < 1,99.